No tutorial anterior falei um pouco sobre a álgebra booleana, porém não apresentei de forma completa muitos dos conceitos que seguem junto com as operações algébricas definidas com a álgebra booleana.
Como foi dito no tutorial anterior, a álgebra booleana é uma ferramenta matemática simples que nos permite descrever a relação entre as saídas de um circuito lógico e suas entradas através de uma equação (expressão booleana).
Com essa ferramenta é possível analisar e descrever o funcionamento dos circuitos lógicos. Além disso, veremos que a álgebra booleana pode ser usada para simplificar a expressão booleana de um circuito, de modo que tenhamos um circuito construído com um menor número de componentes.
O nome álgebra booleana é em homenagem a George Boole (1815 - 1864) que a desenvolveu para o estudo da lógica. Apresentada em 1854 em um trabalho intitulado An Investigation of the laws of Thought.
A álgebra booleana também é utilizada para projetar um circuito que produza uma relação especifica desejada entre entrada e saída.
Logo, resumimos a álgebra booleana como uma poderosa e valiosa ferramenta para descrever circuitos digitais.
Constantes e Variáveis Booleanas
Diferente da álgebra convencional variáveis e constantes na álgebra booleana possuem apenas dois valores permitidos, 0 ou 1. As variáveis booleanas representam normalmente o nível de tensão nas ligações ou terminais do circuito. Por exemplo, em um dado circuito digital o valor booleano 0 representa qualquer nível de tensão definido dentro do intervalo de 0 à 0,8 V, enquanto o valor booleano 1 é dado para qualquer nível de tensão entre 2 a 5 V.
Níveis de tensão entre 0,8 e 2 V são indefinidos, ou seja, não são representados na álgebra booleana, e em circunstâncias normais não devem ocorrer. Isso significa que 0 e 1, não estão presentes no circuito digital, mas representam o nível de tensão presente no circuito, ou seja, representa o estado lógico da variável a ser considerada.
Utiliza-se comumente letras para representar as variáveis lógicas. Por exemplo, A poderia representar uma certa entrada ou saída de um circuito digital, e em qualquer instante teríamos A = 0 ou A = 1.
Na álgebra booleana existe três operações básicas: OR (OU), AND (E) e NOT (NÃO). Essas operações básicas são chamadas de operações lógicas. Já os circuitos digitais conhecidos como portas lógicas podem ser construídos a partir de diodos, transistores e resistores conectados de modo a obter na saída a operação lógica básica (OR, AND, NOT).
Com o uso da álgebra booleana podemos tanto analisar/descrever o circuito lógico quanto projetar circuitos e combinar as operações básicas afim de obter novas relações.
Tabela Verdade
Uma ferramenta muito útil para descrever como a saída de um circuito se comporta de acordo com os níveis presentes nas entradas é o uso da tabela verdade. Ela relaciona todas as combinações possíveis presentes nas entradas com o nível correspondente na saída. Veja na imagem a seguir dois exemplos de tabela verdade.
A Figura 1(a) mostra a tabela verdade para um tipo de circuito de duas entradas. Já a Figura 1(b) mostra a tabela verdade para um circuito de três entradas. De modo geral, estas tabelas relacionam o comportamento da saída em relação às possíveis entradas do circuito. Expressando tudo em níveis lógicos.
Estas tabelas são exemplos, descrevem algum tipo de circuito lógico, mais adiante estaremos aptos a obter este circuito lógico a partir da tabela verdade.
Observe que há quatro linhas para uma tabela de 2 entradas e oito linhas para uma tabela de 3 entradas. Isso significa que para uma tabela de N entradas teremos 2^N linhas.
Note também, que as combinações das possíveis entradas formam uma sequência de contagem binária, tornando mais simples escrever todas as possibilidades sem esquecer nenhuma.
O assunto que darei inicio a seguir pode parecer repetitivo, pois já mencionei no tutorial anterior. Porém ele é consequência das operações booleanas.
Operação OR e Porta Lógica OR
No tutorial anterior iniciei pela porta AND porém desta vez inicio pela porta OR.
A operação OR é umas das três operações booleanas básicas. A imagem a seguir mostra o resultado quando duas entradas são combinadas pela operação OR para produzir uma saída.
Observe pela tabela que a saída S é sempre 1 quando ao menos umas das entradas A ou B for 1. E 0 quando todas as entradas for 0. Logo, a expressão booleana da operação OR é:
Nesta situação o sinal + não representa a adição ordinária, e sim a operação lógica associada a álgebra, isto pois o maior valor possível na álgebra de boole é 1.
A operação OR também continua válida para mais de uma entrada. Por exemplo, para três entradas (A, B e C) a saída será, de acordo com a operação OR, 1 sempre que uma das entradas for 1. E 0 sempre que as entradas for 0.
A operação que acabamos de ver é lida da seguinte forma: "S é igual a A OR B" ou ainda, "S é igual a A OU B". Estas duas formas são corretas.
A porta lógica OR é um circuito com duas ou mais entradas cuja saída é obtida pela combinação das entradas pela operação OR. Confira na imagem a seguir o símbolo de uma porta OR de duas entradas.
Você pode conferir com a ajuda da tabela verdade que a saída será 1 sempre que uma das entradas for 1. Veja essa afirmação também pelo uso da álgebra booleana aplicando a operação OR.
Para uma porta OR com mais entradas a ideia é a mesma, basta estender o conceito de duas entradas para três, quatro, etc.
De modo geral, podemos fazer um resumo da operação OR.
Operação AND e Porta AND
A segunda operação booleana básica é a operação AND, a tabela a seguir mostra a saída para duas entradas combinadas pela operação AND.
Você pode conferir pela tabela que a saída S será 1 sempre que as entradas A e B for 1. Em qualquer outro caso diferente a saída será 0. Logo, a expressão booleana associada é:
Observe que a operação AND é similar a operação ordinária de multiplicação, porém não representa idealmente o produto das entradas e sim uma ideia simbólica.
Observe pela tabela verdade acima que a saída será 1 sempre que as estradas for 1. Faça a análise da porta aplicando a expressão booleana AND. Assim, para mais de duas entradas, a saída será 1 sempre que as entradas for 1.
Operação NOT e Porta NOT
A terceira operação booleana básica que falta ser apresentada é a operação NOT. Essa operação ao contrário da AND e OR, é realizada sobre uma única variável. Por exemplo, a tabela verdade a seguir ilustra a operação NOT sobre uma variável.
Veja que a saída é 0 quando a entrada é 1. E 1 quando a entrada é 0. Logo, pela álgebra booleana a expressão associada a essa operação é:
A barra em cima da variável indica a operação NOT, que na realidade é a inversão do valor de entrada, ou também chamado de complemento de A.
A porta lógica NOT é comumente chamada de porta inversora ou inversor. Veja que o nível lógico da saída é sempre o inverso da entrada.
Estas são as três operações booleanas básicas com suas respectivas portas lógicas. A partir destas operações foram definidas outras propriedades algébricas e outros circuitos que realizam tarefas mais complexas. Mas, este assunto abordarei posteriormente, pois no próximo tutorial aprenderemos como descrever os circuitos algebricamente.
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Comente aí o que você achou deste tutorial, e o que podemos aprimorar!
Até o próximo!
Referência bibliográfica:
TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: Princípios e Aplicações. 10 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 804 p
Como foi dito no tutorial anterior, a álgebra booleana é uma ferramenta matemática simples que nos permite descrever a relação entre as saídas de um circuito lógico e suas entradas através de uma equação (expressão booleana).
Com essa ferramenta é possível analisar e descrever o funcionamento dos circuitos lógicos. Além disso, veremos que a álgebra booleana pode ser usada para simplificar a expressão booleana de um circuito, de modo que tenhamos um circuito construído com um menor número de componentes.
O nome álgebra booleana é em homenagem a George Boole (1815 - 1864) que a desenvolveu para o estudo da lógica. Apresentada em 1854 em um trabalho intitulado An Investigation of the laws of Thought.
A álgebra booleana também é utilizada para projetar um circuito que produza uma relação especifica desejada entre entrada e saída.
Logo, resumimos a álgebra booleana como uma poderosa e valiosa ferramenta para descrever circuitos digitais.
Constantes e Variáveis Booleanas
Diferente da álgebra convencional variáveis e constantes na álgebra booleana possuem apenas dois valores permitidos, 0 ou 1. As variáveis booleanas representam normalmente o nível de tensão nas ligações ou terminais do circuito. Por exemplo, em um dado circuito digital o valor booleano 0 representa qualquer nível de tensão definido dentro do intervalo de 0 à 0,8 V, enquanto o valor booleano 1 é dado para qualquer nível de tensão entre 2 a 5 V.
Níveis de tensão entre 0,8 e 2 V são indefinidos, ou seja, não são representados na álgebra booleana, e em circunstâncias normais não devem ocorrer. Isso significa que 0 e 1, não estão presentes no circuito digital, mas representam o nível de tensão presente no circuito, ou seja, representa o estado lógico da variável a ser considerada.
Utiliza-se comumente letras para representar as variáveis lógicas. Por exemplo, A poderia representar uma certa entrada ou saída de um circuito digital, e em qualquer instante teríamos A = 0 ou A = 1.
Na álgebra booleana existe três operações básicas: OR (OU), AND (E) e NOT (NÃO). Essas operações básicas são chamadas de operações lógicas. Já os circuitos digitais conhecidos como portas lógicas podem ser construídos a partir de diodos, transistores e resistores conectados de modo a obter na saída a operação lógica básica (OR, AND, NOT).
Com o uso da álgebra booleana podemos tanto analisar/descrever o circuito lógico quanto projetar circuitos e combinar as operações básicas afim de obter novas relações.
Tabela Verdade
Uma ferramenta muito útil para descrever como a saída de um circuito se comporta de acordo com os níveis presentes nas entradas é o uso da tabela verdade. Ela relaciona todas as combinações possíveis presentes nas entradas com o nível correspondente na saída. Veja na imagem a seguir dois exemplos de tabela verdade.
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| Figura 1 - Exemplos de tabela verdade. (a) Tabela para duas entradas. (b) Tabela para três entradas. |
A Figura 1(a) mostra a tabela verdade para um tipo de circuito de duas entradas. Já a Figura 1(b) mostra a tabela verdade para um circuito de três entradas. De modo geral, estas tabelas relacionam o comportamento da saída em relação às possíveis entradas do circuito. Expressando tudo em níveis lógicos.
Estas tabelas são exemplos, descrevem algum tipo de circuito lógico, mais adiante estaremos aptos a obter este circuito lógico a partir da tabela verdade.
Observe que há quatro linhas para uma tabela de 2 entradas e oito linhas para uma tabela de 3 entradas. Isso significa que para uma tabela de N entradas teremos 2^N linhas.
Note também, que as combinações das possíveis entradas formam uma sequência de contagem binária, tornando mais simples escrever todas as possibilidades sem esquecer nenhuma.
O assunto que darei inicio a seguir pode parecer repetitivo, pois já mencionei no tutorial anterior. Porém ele é consequência das operações booleanas.
Operação OR e Porta Lógica OR
No tutorial anterior iniciei pela porta AND porém desta vez inicio pela porta OR.
A operação OR é umas das três operações booleanas básicas. A imagem a seguir mostra o resultado quando duas entradas são combinadas pela operação OR para produzir uma saída.
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| Figura 2 - Tabela verdade da operação OR. |
Observe pela tabela que a saída S é sempre 1 quando ao menos umas das entradas A ou B for 1. E 0 quando todas as entradas for 0. Logo, a expressão booleana da operação OR é:
A operação OR também continua válida para mais de uma entrada. Por exemplo, para três entradas (A, B e C) a saída será, de acordo com a operação OR, 1 sempre que uma das entradas for 1. E 0 sempre que as entradas for 0.
A operação que acabamos de ver é lida da seguinte forma: "S é igual a A OR B" ou ainda, "S é igual a A OU B". Estas duas formas são corretas.
A porta lógica OR é um circuito com duas ou mais entradas cuja saída é obtida pela combinação das entradas pela operação OR. Confira na imagem a seguir o símbolo de uma porta OR de duas entradas.
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| Figura 3 - Símbolo e tabela de uma porta OR. |
Você pode conferir com a ajuda da tabela verdade que a saída será 1 sempre que uma das entradas for 1. Veja essa afirmação também pelo uso da álgebra booleana aplicando a operação OR.
Para uma porta OR com mais entradas a ideia é a mesma, basta estender o conceito de duas entradas para três, quatro, etc.
De modo geral, podemos fazer um resumo da operação OR.
1. A operação OR produz 1 como resultado, quando qualquer uma das variáveis de entrada for 1.
2. A operação OR produz 0 quando todas as entradas for 0.
3. Na operação OR, 1+1 = 1; 1+1+1 = 1. Como foi dito anteriormente.
4. A porta lógica OR é um circuito que realiza a operação OR sobre suas entradas.
Operação AND e Porta AND
A segunda operação booleana básica é a operação AND, a tabela a seguir mostra a saída para duas entradas combinadas pela operação AND.
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| Figura 4 - Tabela verdade da operação AND. |
Você pode conferir pela tabela que a saída S será 1 sempre que as entradas A e B for 1. Em qualquer outro caso diferente a saída será 0. Logo, a expressão booleana associada é:
Observe que a operação AND é similar a operação ordinária de multiplicação, porém não representa idealmente o produto das entradas e sim uma ideia simbólica.
A operação AND também é válida para mais de uma entrada. Por exemplo, para três entradas (A,B e C) a saída será 1 sempre que as entradas for 1. E 0 para qualquer uma das entradas igual a 0.
Essa operação é lida da seguinte forma: "S é igual a A AND B" ou ainda "S é igual a A E B". Estas duas formas são corretas.
A porta lógica AND é um circuito cuja saída é obtida pela operação AND das entradas. Confira na imagem a seguir o símbolo da porta AND.
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| Figura 5 - Símbolo e tabela de uma porta AND. |
Observe pela tabela verdade acima que a saída será 1 sempre que as estradas for 1. Faça a análise da porta aplicando a expressão booleana AND. Assim, para mais de duas entradas, a saída será 1 sempre que as entradas for 1.
De modo geral, podemos fazer um pequeno resumo levando em conta as principais características da porta AND e sua operação.
1. A operação AND é realizada do mesmo modo que a multiplicação ordinária de 0s e 1s. Mas não significa multiplicação.
2. A saída é igual a 1 quando todas as entradas for igual a 1.
3. A saída é 0 para o caso em que uma ou mais entradas são iguais a 0.
4. Uma porta AND é um circuito que realiza a operação AND sobre suas entradas.
Operação NOT e Porta NOT
A terceira operação booleana básica que falta ser apresentada é a operação NOT. Essa operação ao contrário da AND e OR, é realizada sobre uma única variável. Por exemplo, a tabela verdade a seguir ilustra a operação NOT sobre uma variável.
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| Figura 6 - Tabela verdade da operação NOT. |
Veja que a saída é 0 quando a entrada é 1. E 1 quando a entrada é 0. Logo, pela álgebra booleana a expressão associada a essa operação é:
A barra em cima da variável indica a operação NOT, que na realidade é a inversão do valor de entrada, ou também chamado de complemento de A.
Essa operação pode ser lida da seguinte forma: "S é igual a NOT A"; "S é igual a NÃO A"; "S é igual ao complemento de A" ou ainda "S é igual a A barrado". Todas essas formas estão corretas.
Já a porta lógica NOT é um circuito que possui uma única entrada e realiza a operação NOT sobre essa entrada. Confira na imagem a seguir o símbolo desta porta.
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| Figura 7 - Símbolo e tabela para porta NOT. |
A porta lógica NOT é comumente chamada de porta inversora ou inversor. Veja que o nível lógico da saída é sempre o inverso da entrada.
Podemos resumir algumas características da porta NOT.
1. A porta NOT realiza a operação de inversão (complemento) sobre uma única variável.
2. O nível lógico da saída é o inverso da entrada.
3. A porta NOT possui uma entrada e uma saída.
Estas são as três operações booleanas básicas com suas respectivas portas lógicas. A partir destas operações foram definidas outras propriedades algébricas e outros circuitos que realizam tarefas mais complexas. Mas, este assunto abordarei posteriormente, pois no próximo tutorial aprenderemos como descrever os circuitos algebricamente.
Então se você gostou, já sabe né? Compartilhe este post em suas redes sociais, curta nossa fan page, ajude nosso blog.
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Referência bibliográfica:
TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: Princípios e Aplicações. 10 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 804 p
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