Valor Médio, Eficaz ou RMS, O Que Significam e Como Calcular

Hoje o assunto envolve mais de matemática do que o usual que é apresentado aqui no blog, porém, sem a matemática o mundo moderno seria muito diferente.

Com os teoremas e formulações matemáticas é possível interpretarmos muitos fenômenos físicos que nos rodeiam. E se tratando de engenharia e eletrônica a matemática não pode ficar de fora.

Quando se começa os estudos de circuitos elétricos utiliza-se muito o sinal contínuo para analisar e estudar os teoremas, para que depois de dominarmos as técnicas de análise de circuitos passemos para fontes alternadas, geralmente senoidais.

Com esta mudança da forma de onda, começam a surgir novos nomes, tensão e corrente média, tensão e corrente eficaz ou RMS (root mean square - raiz quadrática média). E a partir do momento em que se inicia os estudos em eletrônica, esses nomes começam a nos acompanhar por toda a vida. Pretendo com este texto apresentar o que eles significam basicamente, e alguns exemplos de cálculos básicos.

Valor Médio (Average)

O nome é bastante sugestivo, calcular o valor médio de um sinal qualquer quer dizer obter a média desse sinal ao longo de um período. Nossas variáveis de interesse em muitos dos casos são corrente e tensão, isso significa que a tensão ou corrente média é a média do sinal ao longo do tempo, ou melhor, em um período. 

O valor médio pode ser entendido como a componente CC que compõe o sinal, ou seja, o equivalente a um sinal continuo. Utilizando uma formulação matemática o valor médio de uma tensão, por exemplo, é calculado analiticamente por integração como:
$$\begin{equation}{ V }_{ MED } = \frac { 1 }{ T }\int _{ 0 }^{ T }{ v(t)dt }\end{equation}$$
Note que, o valor médio é a área sob a curva dada pelo sinal. A Figura 1 aborda a relação entre um sinal alternado e o valor médio deste sinal.

Figura 1 - Relação gráfica do valor médio de um sinal senoidal ao longo de um período de tempo T.

Podemos notar da Figura 1 que a área sob a curva do sinal senoidal nos dá o valor médio, que é o equivalente a um sinal CC.

A título de exemplo, vamos calcular o valor médio de um sinal senoidal com simetria no eixo da abscissa (eixo x). Este sinal tem a forma da tensão alternada encontrada nas nossas residências (tipicamente de 127 V ou 220 V). Assim, o sinal alternado da Figura 2 possui valor máximo de $V_{MAX}$. Como o sinal é senoidal e variante no tempo, ele pode ser representado por uma função seno como: $v(t) = { V }_{ MAX }\sin { \omega t }$.

Figura 2 - Sinal senoidal com período de $2\pi$ e valor máximo $V_{MAX}$.

Cabe destacar que o sinal da Figura 2 tem período igual a $2\pi$ rad. Utilizando a equação (1) para calcular o valor médio, tem-se os seguintes passos.
$$\begin{equation}{ V }_{ MED }=\frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ { V }_{ MAX }\sin { \left( \omega t \right)  }  } d\omega t\end{equation}$$
Como $V_{MAX}$ é constante, ele sai da integração. Logo temos,
$$\begin{equation}{V }_{ MED }=\frac { { V }_{ MAX } }{ 2\pi  } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \sin { \left( \omega t \right)  }  } d\omega t\end{equation}$$
A integral da função $\sin { \omega t }$ é $-\cos { \omega t }$. Que pode ser verificado facilmente em uma tabela de integração. Assim, a equação (3) se torna:
$$\begin{equation}{ V }_{ MED }=\frac { { V }_{ MAX } }{ 2\pi  } { \left[ -\cos { \left( \omega t \right)  }  \right]  }_{ 0 }^{ 2\pi  }\end{equation}$$
$$\begin{equation}{ V }_{ MED }=\frac { { V }_{ MAX } }{ 2\pi  } \left[ -1+1 \right] \rightarrow { V }_{ MED }=\frac { { V }_{ MAX } }{ 2\pi  } \left[ 0 \right] \rightarrow { V }_{ MED }= 0\end{equation}$$
Assim, podemos verificar que o valor médio de um sinal senoidal alternado com simetria no eixo x, é zero. Este é apenas um exemplo de aplicação da equação (1).

Valor Eficaz ou RMS

O valor eficaz de um sinal (também denominado RMS) está relacionado com a potência em corrente continua. Ou seja, o valor eficaz é a medida ou a quantidade do sinal alternado que dissiparia a mesma potência em uma resistência alimentada por um sinal continuo (confuso não é mesmo?). Para tentar convencê-los vamos fazer uma demonstração.

Considere que uma resistência $R$ seja conectada a uma fonte de sinal continuo $V$, logo, pela lei de Ohm, circulará uma corrente $I$ no circuito. A potência que será consumida pode ser calculada por:
$$\begin{equation}P = V\times I=\frac { { V }^{ 2 } }{ R } ={ I }^{ 2 }\times R\end{equation}$$
Agora considere que a mesma resistência $R$, com as mesmas características elétricas, seja alimentada por um sinal alternado $v(t)$. Circulará pela malha uma corrente $i(t)$ também alternada. Como a tensão e a corrente são funções no domínio do tempo, a potência consumida pode ser determinada por:
$$\begin{equation}p(t)=v(t)\times i(t)=\frac { { v(t) }^{ 2 } }{ R } ={ i(t) }^{ 2 }\times R\end{equation}$$
Se tomarmos a potência média consumida ao longo de um período $T$, a equação (7) pode ser reescrita como:
$$\begin{equation}{ P }_{ MED }=\frac { 1 }{ T } \int _{ 0 }^{ T }{ \frac { { v(t) }^{ 2 } }{ R } dt }\end{equation}$$
O circuito elétrico que representa as duas situações acima descritas pode ser visualizado na Figura 3 a seguir.

Figura 3 - Equivalente entre um circuito CC e um CA para determinação do valor eficaz.

Note que, o circuito elétrico representa os dois casos. Continuando, se igualarmos as potências (esta é a nossa premissa), ou seja, igualar as equações (6) e (8), temos que:
$$\begin{equation}\frac { { V }^{ 2 } }{ R } = \frac { 1 }{ T } \int_{ 0 }^{ T }{ \frac { { v(t) }^{ 2 } }{ R } dt } \end{equation}$$
Simplificando e isolando a variável de interesse $V$, tem-se:
$$\begin{equation}V = \sqrt { \frac { 1 }{ T } \int _{ 0 }^{ T }{ { v(t) }^{ 2 }dt }  } \end{equation}$$
Assim, temos a tensão eficaz dada pela equação (10). Reescrevendo, temos:
$$\begin{equation}{ V }_{ RMS }=\sqrt { \frac { 1 }{ T } \int _{ 0 }^{ T }{ { v(t) }^{ 2 }dt }  }\end{equation}$$
Caso o sinal seja uma corrente, basta trocar as variáveis da equação anterior e realizar a integração normalmente.

A título de exemplo, vamos calcular o valor eficaz do sinal senoidal dado anteriormente, a equação da tensão no tempo é:
$$\begin{equation}v(t) = { V }_{ MAX }\sin { \omega t }\end{equation}$$
Sendo o período igual a $2\pi$ e utilizando a equação (11) para calcular o valor eficaz, temos:
$$\begin{equation}{ V }_{ RMS }=\sqrt { \frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ { V }_{ MAX }^{ 2 } } \sin ^{ 2 }{ \left( \omega t \right) d\omega t }  }\end{equation}$$
Podemos manipular as constantes da integral, onde obtém-se:
$$\begin{equation}{ V }_{ RMS }=\frac { { V }_{ MAX } }{ \sqrt { 2\pi  }  } \sqrt { \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \sin ^{ 2 }{ \left( \omega t \right) d\omega t }  }  } \end{equation}$$
Lembrando das relações trigonométricas, podemos simplificar $\sin^{2}{\omega t}$ como:
$$\begin{equation}\sin ^{ 2 }{ \omega t } =\frac { 1-\cos { 2\omega t }  }{ 2 }\end{equation}$$
Assim, a integração pode ser resolvida mais facilmente,
$$\begin{equation}{ V }_{ RMS }=\frac { { V }_{ MAX } }{ \sqrt { 2\pi  }  } \sqrt { \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \frac { dt }{ 2 }  } -\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \frac { \cos { \left( 2\omega t \right)  }  }{ 2 } dt }  }\end{equation}$$
$$\begin{equation}{ V }_{ RMS }=\frac { { V }_{ MAX } }{ \sqrt { 2\pi  }  } \sqrt { { \left[ \frac { t }{ 2 }  \right]  }_{ 0 }^{ 2\pi  }-{ \left[ \frac { \sin { 2\omega t }  }{ 4 }  \right]  }_{ 0 }^{ 2\pi  } } \rightarrow { V }_{ RMS }=\frac { { V }_{ MAX } }{ \sqrt { 2\pi  }  } \sqrt { \pi  } \rightarrow { V }_{ RMS }=\frac { { V }_{ MAX } }{ \sqrt { 2 }  }\end{equation}$$
Logo, verificamos que para um sinal senoidal com simetria na abscissa, o valor eficaz é dado por:
$$\begin{equation}{ V }_{ RMS }=\frac { { V }_{ MAX } }{ \sqrt { 2 }  }\end{equation}$$
A equação (18) é comumente encontrada nos livros. Este caso é apenas um exemplo de aplicação da equação (11).

Comentário Final

Este texto é apenas uma explanação do conceito por trás do valor médio e eficaz de sinais elétricos. É indispensável a consulta de livros textos e artigos sobre o assunto para um melhor entendimento.

Neste pequeno texto, busquei apresentar o conceito de valor médio e eficaz, com dois exemplos simples. Nos próximos textos, trarei o cálculo do valor médio e eficaz dos sinais mais comuns, e que são frequentemente aplicados nos circuitos eletrônicos em geral.

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Referência Bibliográfica

[1]  Valor Médio e Eficaz - NAKASHIMA, Kasuo, Universidade Federal de Itajuba. 2013.